故障樹分析法（Fault Tree Analysis）是由美國貝爾電話研究所的沃森（Watson）和默恩斯（Mearns）與于1961年首次提出并應(yīng)用于分析民兵式導(dǎo)彈發(fā)射控制系統(tǒng)的。其后，波音公司的哈斯?fàn)枺℉asse）、舒勞德（Schroder）、杰克遜（Jackson）等人研制出故障樹分析法計(jì)算程序，標(biāo)志著故障樹分析法進(jìn)入了以波音公司為中心的宇航領(lǐng)域。1974年，美國原子能委員會(huì)發(fā)表了以麻省理工學(xué)院（MIT）拉斯穆森（Rasmussen）為首的安全組所寫的“商用輕水反堆核電站事故危險(xiǎn)性評價(jià)”的報(bào)告，該報(bào)告采用了美國國家航空和管理部于60年代發(fā)展起來的事件樹（ET：Event Tree）和故障樹分析方法。這一報(bào)告的發(fā)表引起了各方面的很大反響，并推動(dòng)了故障樹分析法從宇航、化工和機(jī)械等工業(yè)領(lǐng)域。所謂故障樹分析，就是首先選定某一影響最大的系統(tǒng)故障作為頂事件，然后將造成系統(tǒng)故障的原因逐級分解為中間事件，直至把不能或不需要分解的基本事件作為底事件為止，這樣就得到了一張樹狀邏輯圖，稱為故障樹。如圖1-1所示就是一簡單的故障樹。這一簡單故障樹表明：作為頂事件的系統(tǒng)故障是由部件A的故障或部件B的故障引起的，而部件A的故障可能由元件1引起，也可能由元件2引起，部件B的故障則由元件3和元件4同時(shí)發(fā)生故障時(shí)引起，這樣，就將引起系統(tǒng)故障的基本原因及影響途徑表達(dá)得一清二楚。更一般地說，故障樹分析就是以故障樹為基礎(chǔ)，分析影響頂事件發(fā)生的底事件種類及其相對影響程度。故障樹分析包括以下幾個(gè)主要步驟：建立故障樹、故障樹的定性分析和故障樹的定量分析。
二、故障樹的建立
故障樹的建立有人工建樹和計(jì)算機(jī)建樹兩類方法，它們的思路相同，都是首先確定頂事件，建立邊界條件，通過逐級分解得到的原始故障樹，然后將原始故障樹進(jìn)行簡化，得到最終的故障樹，供后續(xù)的分析計(jì)算用。

• 1、確定頂事件 

在故障診斷中，頂事件本身就是診斷對象的系統(tǒng)級（總體的）故障部件。而在系統(tǒng)的可靠性分析中，頂事件有若干的選擇余地，選擇得當(dāng)可以使系統(tǒng)內(nèi)部許多典型故障（作為中間事件和底事件）合乎邏輯地聯(lián)系起來，便于分析。所選的頂事件應(yīng)該滿足：

•  ① 要有明確的定義；

•  ② 要能進(jìn)行分解，使之便于分析頂事件和底事件之間的關(guān)系；

•  ③ 要能度量以便于定量分析。

選擇頂事件，首先要明確系統(tǒng)正常和故障狀態(tài)的定義；其次要對系統(tǒng)的故障作為初步分析，找出系統(tǒng)組成部分（元件、組件、部件）可能存在的缺陷，設(shè)想可能發(fā)生的各種的人為因素，推出這些底事件導(dǎo)致系統(tǒng)故障發(fā)生的各種可能途徑（因果鏈），在各種可能的系統(tǒng)故障中選出最不希望發(fā)生的事件作為頂事件。對于復(fù)雜的系統(tǒng)，頂事件不是唯一的，必要時(shí)還可以把大型復(fù)雜的系統(tǒng)分解為若干個(gè)相關(guān)的子系統(tǒng)，以典型中間事件當(dāng)作故障樹的頂事件進(jìn)行建樹分析，最后加以綜合，這樣可使任務(wù)簡化并可同時(shí)組織多人分工合作參與建樹工作。

• 2、建立邊界條件  

建立邊界條件的目的是為了簡化建樹工作，所謂邊界條件是指：

• ① 不允許出現(xiàn)的事件；

• ② 不可能發(fā)生的事件，實(shí)際中常把小概率事件當(dāng)作不可能事件；

• ③ 必然事件；

• ④ 某些事件發(fā)生的概率；

• ⑤ 初始狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)中的部件有數(shù)種工作狀態(tài)時(shí)，應(yīng)指明與頂事件發(fā)生有關(guān)的部件的工作狀態(tài)。

建立邊界條件和建樹時(shí)應(yīng)該注意的是:

• ① 小概率事件不等同于小部件的故障和小故障事件；

• ② 有的故障發(fā)生概率雖小，但一旦發(fā)生則后果嚴(yán)重，為安全起見，這種小概率故障就不能忽略；

• ③ 故障定義必須明確，避免多義性，以免使故障樹邏輯混亂；

• ④ 先抓主要矛盾，開始建樹時(shí)應(yīng)先考慮主要的、可能性很大的以及關(guān)鍵性的故障事件，然后再逐步細(xì)化分解過程中再考慮次要的、不經(jīng)常發(fā)生的以及后果不嚴(yán)重的次要故障事件；

• ⑤ 強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)中事件的邏輯關(guān)系，條件必須清楚，不可紊亂和自相矛盾。

• 3、建樹符號  

建樹符號包括故障事件符號、邏輯門符號和轉(zhuǎn)移符號等，如表1-1所示。表1-1 建樹符號

下面以減速器的故障為例，來說明說明建樹過程。

顯然，在本例中，減速器的故障就是頂事件。假定減速器故障僅包括漏油、振動(dòng)噪聲和減速器不能工作三種形式，它們可作為故障樹的第二級。而減速器的振動(dòng)噪聲可能來自齒輪箱，也可能來自基座、電機(jī)或工作中的不平穩(wěn)外載荷，它們可作為故障樹的第三級。齒輪箱由轉(zhuǎn)軸組件和軸承系統(tǒng)組成，它們構(gòu)成故障樹的第四級。轉(zhuǎn)軸組件又包括齒輪和轉(zhuǎn)軸，稱為故障樹的第五級，這樣層層分解，最后可能建立如圖1-2所示的故障樹。需要說明的是，圖1-2所示的減速器故障樹與某一實(shí)際的減速器故障情形可能并不完全相符，此處所列只是為說明故障樹的建立方法。由此可以看出，一張實(shí)際的故障樹可能非常復(fù)雜，這取決于考慮問題的角度和出發(fā)點(diǎn)。

圖1-2 減速器故障樹

三、故障樹的簡化在分析系統(tǒng)故障時(shí)，最初建立的故障樹往往并不能最簡的，可以對它進(jìn)行簡化。最經(jīng)常采用的簡化方法是借助邏輯代數(shù)的邏輯法則進(jìn)行簡化，為此，先來介紹幾個(gè)基本的邏輯關(guān)系和邏輯運(yùn)算法則、故障樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)，最后以一個(gè)實(shí)例來說明簡化方法。1、基本邏輯關(guān)系兩個(gè)變量的基本邏輯關(guān)系如表1-2所示，邏輯運(yùn)算的真值表如表1-3所示。表1-2 兩個(gè)變量的基本邏輯關(guān)系

表1-3 兩個(gè)變量邏輯運(yùn)算的真值表

2、邏輯運(yùn)算的基本法則為簡便起見，現(xiàn)將邏輯運(yùn)算的基本法則列于表1-4。表1-4 兩個(gè)變量邏輯運(yùn)算的真值表3、故障樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)由圖1-1所示的簡單故障樹可以看出，由于故障樹是由構(gòu)成它的全部底事件的“或”和“與”的邏輯關(guān)系聯(lián)結(jié)而成，因此可用結(jié)構(gòu)函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具給出故障樹的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便于對故障樹作定性分析和定量計(jì)算。系統(tǒng)故障稱為故障樹的頂事件，以符號T表示，系統(tǒng)各部件的故障稱為底事件，如對系統(tǒng)和部件均只考慮故障和正常兩種狀態(tài)，則底事件可定義為：

（1-2）系統(tǒng)頂事件的狀態(tài)如用φ來表示，則必然是底事件狀態(tài)Xi（i=1，2，…,n）的函數(shù)。

（1-3）同時(shí)定義為故障（1-4）顯然，圖1-3所示的與門故障樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)為（1-5）

圖1-4所示的或門故障樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

（1-6）圖1-3 與門故障樹

圖1-4 或門故障樹也可寫為（1-7）4、簡化實(shí)例下面以兩個(gè)簡單的例子來說明故障樹的簡化過程。對圖1-5（a），故障樹的簡化過程如下對圖1-5（b），故障樹的簡化過程如下圖1-5 故障樹簡化實(shí)例

四、故障樹的定性分析

對故障樹作定性分析的主要目的是為了弄清系統(tǒng)（或設(shè)備）。出現(xiàn)某種故障（頂事件）可能性有多少，亦即分析有哪些因素會(huì)引發(fā)系統(tǒng)的某種故障。定性分析首先必須確定系統(tǒng)的最小割集。

• 1、割集和最小割集

割集是引起系統(tǒng)故障發(fā)生的幾個(gè)故障底事件的集合，即一個(gè)割集代表了系統(tǒng)發(fā)生故障的一種可能性或一種故障模式。如一故障樹的底事件集合為

，當(dāng)有一子集，當(dāng)滿足條件（1-8）時(shí)，使，亦即該子集所含之全部底事件均發(fā)生時(shí)，頂事件必然發(fā)生，則該子集就是割集，其割集數(shù)為K。

割集的對偶式路集，路集是系統(tǒng)不發(fā)生故障的底事件的集合，即一個(gè)路集代表了一個(gè)系統(tǒng)正常的可能性或模式。      
最小割集是指包含有最少數(shù)量而又最必須的底事件的割集，全部最小割集的完整集合代表了給定的全部故障，因此，最小割集的意義就是在于它給出了處于故障狀態(tài)的系統(tǒng)中所必須要修理的故障模式。

• 2、最小割集的求取

目前，對最小割集的研究較多，在此介紹較常用的兩種方法，即賽邁特里斯算法和富賽爾算法。（1）賽邁特里斯算法（上行法）由賽邁特里斯（Semanderes）研制（1972年）的最小割集算法，其基本原理是：對給定的故障樹從最下一級中間事件開始，如中間事件是以邏輯與門把底事件聯(lián)系在一起，可用與門結(jié)構(gòu)函數(shù)式（式1-5）；如中間事件是邏輯或門與底事件相聯(lián)，則用或門結(jié)構(gòu)函數(shù)式（1-6）；依次往上，直至頂事件，運(yùn)算才終了。在所得計(jì)算結(jié)果中，如有相同的底事件出現(xiàn)，就應(yīng)用布爾代數(shù)加以簡化。對圖1-6所示的故障樹，顯然可以寫出：（1-9）

由此得到8個(gè)割集。

可用邏輯代數(shù)對上式進(jìn)行簡化得到最小割集為，即該故障樹有4個(gè)最小割集，為 ，同時(shí)可得其等價(jià)故障樹如圖1-7所示。
圖1-6 故障樹舉例圖1-7 圖1-6的等價(jià)故障樹（2）富賽爾（Fussell）算法（下行法）求故障樹最小割集的另一種算法是富賽爾（Fussell）根據(jù)范斯萊（Vesely）編制的計(jì)算機(jī)程序MOCUS（獲得割集的方法）于1972年提出的一種手工算法。它根據(jù)故障樹中邏輯或門會(huì)增大割集容量的性質(zhì)，從故障樹的頂事件開始，由上到下，順次把上一級事件置換為下一級事件，遇到與門將輸入   橫向并列寫出，遇到或門則將輸入事件豎向串列寫出，直至把全部邏輯門都置換為底事件為止，由此可得該故障樹的全部割集。需要說明的是，由于圖1-7所示的故障樹已經(jīng)過最小割集處理，故富賽爾推算得到的結(jié)果均為最小割集，而對于一般地故障樹，則仍須用布爾代數(shù)對富賽爾推算結(jié)果進(jìn)行簡化，才能求得最小割集。五、故障樹的定量分析所謂故障樹的定量分析，就是以故障樹為基礎(chǔ)，分析系統(tǒng)故障的發(fā)生概率以及各底事件的重要程度，包括結(jié)構(gòu)重要度、概率重要度和關(guān)鍵性重要度等三個(gè)不同含義的定量指標(biāo)。

• 1、概率計(jì)算的基本公式設(shè)事件的發(fā)生概率分別為，

（1）當(dāng)為相互獨(dú)立的事件時(shí)，有：和的概率（1-11）積的概率（1-12）（2）當(dāng)為相斥事件時(shí)，有：和的概率（1-13） 積的概率（1-14）（3）當(dāng)為相容事件時(shí)，有：和的概率（1-15）
積的概率（1-16）實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng)時(shí)，相容事件近似獨(dú)立事件；當(dāng)時(shí)，相容事件近似于相斥事件。值得注意的是，在應(yīng)用上述公式計(jì)算系統(tǒng)故障的概率時(shí)，當(dāng)故障樹中包含兩個(gè)以上同一底事件時(shí)，則必須應(yīng)用邏輯代數(shù)整理簡化后，才能使用以上概率計(jì)算公式，否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，在計(jì)算概率之前，必須將故障樹化為結(jié)構(gòu)最簡，即與最小割集對應(yīng)。

• 2、頂事件的發(fā)生概率

求頂事件的發(fā)生概率有多種方法，這里介紹由最小割集結(jié)構(gòu)函數(shù)求頂事件的故障概率的算法。該算法的基礎(chǔ)思路是：將故障樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)表示成最小割集和的形式，然后應(yīng)用概率計(jì)算的基本公式求出系統(tǒng)故障發(fā)生的概率。即將系統(tǒng)的最小割集結(jié)構(gòu)函數(shù)表達(dá)為（1-17）式中：k——最小割集數(shù)；
         Mi(x)——某一最小割集，其定義為 （1-18）系統(tǒng)頂事件發(fā)生的概率，即是使的概率，為（1-19）對圖1-7所示的故障樹數(shù)，令底事件求頂事件  的發(fā)生概率分別為，各最小割集間看做相斥事件，于是又系統(tǒng)（頂事件）故障發(fā)生的概率為：

• 3、事件的重要度計(jì)算

故障樹的各個(gè)底事件（或各最小割集）對頂事件發(fā)生的影響稱為底事件（或最小割集）的重要度。研究事件對改善系統(tǒng)設(shè)計(jì)、提高系統(tǒng)的可靠性或確定故障監(jiān)測的部位、制定系統(tǒng)故障診斷方案、減小排除故障的時(shí)間等具有重要意義。

一個(gè)故障樹往往包含有多個(gè)底事件，為了比較它們在故障樹中的重要程度，在故障樹的定量分析中常作結(jié)構(gòu)重要度、概率重要度和關(guān)鍵重要度等計(jì)算。（1）結(jié)構(gòu)重要某個(gè)底事件的結(jié)構(gòu)重要度，是在不考慮其發(fā)生概率值得情況下，觀察故障樹的結(jié)果，以決定該事件的位置重要程度。由于底事件的狀態(tài)取0或1，當(dāng) Xi 處于某一狀態(tài)時(shí)，其余n-1個(gè)底事件組合系統(tǒng)狀態(tài)為。因此，第i個(gè)底事件 Xi 的結(jié)構(gòu)重要度定義為：

（1-20

式中，即第i個(gè)底事件為1；，即第i個(gè)底事件為0；n—底事件個(gè)數(shù)。該定義中，表示底事件 Xi 和頂事件同時(shí)發(fā)生的狀態(tài)組合數(shù)目，即表示底事件 Xi 不發(fā)生而頂事件發(fā)生的狀態(tài)組合數(shù)目，即。兩者相減則代表了底事件 Xi 發(fā)生則頂事件發(fā)生、且底事件 Xi 不發(fā)生頂事件也不發(fā)生的情況，這些狀態(tài)組合與頂事件發(fā)生與否密切相關(guān)因此可以利用其數(shù)目與系統(tǒng)總狀態(tài)數(shù)之比來表示底事件 Xi 的結(jié)構(gòu)重要度。仍以圖1-7所示的故障樹為例來說明事件結(jié)構(gòu)重要度的計(jì)算方法。為此，先列出底事件狀態(tài)與頂事件狀態(tài)表，如表1-3所示。表1-3   底事件狀態(tài)與頂事件狀態(tài)對底事件1來說，首先找出底事件1和頂事件同時(shí)發(fā)生的集合即，有（1001）、（1010）、（1011）、（1101）、（1110）、（1111）共6個(gè)，再找出底事件1不發(fā)生而頂事件發(fā)生的集合，即，有（0011）、（0101）、（0111）共3個(gè)，于是可得底事件1的結(jié)構(gòu)重要度為：同時(shí)可得：即在此例中，底事件4的結(jié)構(gòu)重要度最高：（2）概率重要度底事件 Xi 發(fā)生概率的變化引起頂事件發(fā)生概率的變化程度定義為該底事件的概率重要度，記作其數(shù)學(xué)表達(dá)式為（1-21）由于在一般情況下，有（1-22）式中：g(P)——頂事件發(fā)生的概率           Pi——頂事件Xi發(fā)生的概率因此，底事件Xi的概率重要度為（1-23）式中：g(1iP)——底事件發(fā)生時(shí)頂事件發(fā)生的概率；           Pi——底事件Xi發(fā)生的概率。由式（1-21）可得頂事件發(fā)生概率 的變化量  與底事件發(fā)生概率的變化量間的近似關(guān)系為 圖1-7所示故障樹種各底事件的概率重要度（假定P1=0.01， 可P2=0.05，P3=0.02，P4=0.03）可如下求得：對于底事件1而言，在表1-3中找出只有右邊的（此時(shí)），而左邊的（此時(shí)）的事件組合，即只有底事件1發(fā)生頂事件才發(fā)生的事件組合，為（1001）、（1010）和（1110），把各底事件看成相互獨(dú)立、各事件組合看成相斥，應(yīng)用式(1-23)可得：同理可得即（3）關(guān)鍵重要度底事件Xi發(fā)生概率的變化率的改變引起頂事件發(fā)生概率變化率的改變程度定義為該底事件的關(guān)鍵重要度，記作，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為即關(guān)鍵性重要度是頂事件發(fā)生概率與某事件概率變化率之比，式中 g(P) 為頂事件發(fā)生的概率。關(guān)鍵性重要度 Ic(i) 與概率重要度的關(guān)系為（1-26）仍以圖1-7所示的故障樹為例，前已求得頂事件發(fā)生的概率為，于是可得底事件的關(guān)鍵性重要度分別為：

即 

由以上討論可以看出，對于不同的重要度定義，各底事件間的相對重要程度是不同的。

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